Le retour de Zénon

Vous connaissez certainement le fameux paradoxe de Zénon. Par celui-ci le sophiste Zénon se proposait de démontrer l'impossibilité du mouvement. Le but des sophistes était de prouver qu'on pouvait démontrer tout et le contraire de tout (malheureusement cette tradition semble s'être perpétuée dans certains milieux !). L'énoncé du paradoxe, en termes modernes, est le suivant : une flèche n'atteint jamais sa cible (une variante fait intervenir Achille et une tortue). En effet, admettons que pendant une seconde la flèche parcoure 10 mètres et que la cible soit située à 20 m. Au bout d'une seconde la flèche est encore à 10 m de la cible. Attendons une demi-seconde : la flèche parcoure 5 m, donc il lui en reste encore 5. Attendons 1/4 de seconde : la flèche parcoure 2.5 m et il lui en reste encore 2.5 à parcourir, et ainsi de suite...

On dit souvent que les grecs anciens ne pouvaient résoudre ce paradoxe car ils ignoraient la notion de "série convergente". Je ne suis pas très fort en histoire, mais on ne m'enlèvera pas de l'idée qu'Eudoxe ou Archimède auraient pu facilement claquer le beignet de Zénon, mais j'ignore s'ils se sont intéressés à la question. On raconte aussi que lorsqu'on lui soumettait ce problème, Diogène se levait et marchait...

Quelle est donc la solution ? Il suffit de calculer la somme 1+1/2+1/4+1/8+... C'est une série géométrique bien connue, qui converge vers 2. Ainsi au bout de 1+1/2+1/4+...=2 secondes, la flèche a parcouru 10+5+2.5+...=10(1+1/2+1/4+...)=20 mètres, soit exactement ce qu'il faut pour atteindre la cible.

Pourquoi appelle-t-on ceci un paradoxe ? En fait c'est un terme impropre, qui est surtout consacré par l'usage. Il faudrait en effet distinguer les paradoxes qui ne sont qu'apparents, et qui ne résistent pas à un examen minutieux, comme celui de Zénon, des "vrais" paradoxes, qui montrent qu'il y a un gros problème quelque part ! Un vrai paradoxe est celui du menteur (tous les crétois sont des menteurs, et l'un deux affirme "je suis un menteur" !). Ce paradoxe ne peut pas être résolu et montre simplement que le système que l'on considère est inconsistant : il ne saurait exister.

Il existe un "paradoxe" qui ressemble à une variante du paradoxe de Zénon, mais qui est bien plus subtil. Saurez-vous en venir à bout ?

 

-On considère une lampe qui s'allume pendant 1 seconde, puis s'éteint pendant 1/2 seconde, puis s'allume à nouveau pendant 1/4 de seconde, puis s'éteint pendant 1/8 de seconde, etc...

Au bout de 2 secondes, la lampe est-elle allumée ou éteinte ?

Pas question de vous en sortir avec des arguments du type "la lampe explose" ou je ne sais quoi ! C'est un problème de maths, pas de physique !

Il y a une variante encore plus troublante. Celle-ci utilise des balles de tennis. On dispose d'une pièce (une très grande pièce !) et d'une infinité de balles de tennis numérotées (1,2,3,etc...).

Au temps t=0, on envoie la balle n°1 dans la pièce.

Au temps t=1/2, on envoie les balles 2 et 3 dans la pièce, on retire la balle 1.

Au temps t=1/2+1/4=3/4 on envoie les balles 4 et 5, et on fait ressortir la balle 2.

etc...

Combien y a-t-il de balles dans la pièce au temps t=2 ? Ce qui est troublant ici, c'est qu'on peut faire deux raisonnements qui ont l'air parfaitement convaincants, mais qui conduisent à deux résultats contradictoires !

1ere solution : à t=2, il y a une infinité de balles dans la pièce. En effet, à chaque étape, le nombre de balles dans la pièce augmente de 1. Donc au bout d'une infinité d'étapes, il y a une infinité de balles.

2e solution : à t=2, il y a...zéro balles dans la pièce ! En effet : si vous pensez qu'il y en a une, dites moi son numéro. A un moment donné du processus, cette balle a été retirée, et n'a plus jamais été remise. Par exemple la balle 2 a été retiré au troisième coup, et de même toutes les balles ont été retirées à un certain moment. Donc il n'y en a plus !

Là non plus, je ne veux pas entendre parler de balles qui vont plus vite que la lumière, etc... Le problème n'est pas là ! Si vous n'y tenez plus, regardez la solution plus bas...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Alors, vous avez trouvé ? En fait ce paradoxe est d'une toute autre nature que celui de Zénon, même s'il utilise aussi la série convergente 1+1/2+1/4+... En effet, dans celui de Zénon, on a un "processus" qui est parfaitement bien défini pour tout temps t. On peut ainsi faire le graphe de la distance parcourue par la flèche par rapport au temps, et c'est une courbe continue. Les instants définis par Zénon forment une suite de points sur l'axe des t, qui tend vers 2. Or ce qui se passe au temps t=2 est parfaitement bien défini. Dans le paradoxe de la lampe, il en va tout autrement. Si on fait un graphe avec t en abscisse, et une variable L en ordonnée qui vaut 0 quand la lampe est éteinte et 1 quand elle est allumée, que se passe-t-il ? On a un graphe qui est défini pour t compris entre 0 et 2 strictement, et qui n'est pas continu au point t=2. Ainsi, il n'y a pas de moyen naturel de prolonger ce graphe en t=2, ce que demande l'énoncé du paradoxe ! On peut aussi bien prendre 0 que 1 en ce point, c'est une question de choix. L'arnaque vient du "etc..." par ce "etc..." on sous-entend que le processus qui allume et éteint la lampe est bien défini pour tout temps, or ce n'est pas le cas : à partir de t=2 il n'y a plus "d'instruction".

Pour le paradoxe des balles de tennis, c'est exactement la même chose : on a deux fonctions du temps : l'une qui donne le minimum des numéros des balles présentes dans la pièce, l'autre qui donne le nombre de balles présentes dans la pièce. Ces deux fonctions ne sont pas définies en t=2, mais il est vrai qu'elles tendent toutes les deux vers l'infini en ce point. C'est ce qui sous-tend les deux raisonnements "qui ont l'air vrais".