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Les axiomes de Hilbert

Ces axiomes sont classés en cinq groupes. L'exposé ci-dessous n'est pas exactement celui de Hilbert. Il est très largement inspiré de Efimov, dont je recommande chaudement la lecture du merveilleux livre ``Géométrie supérieure'' [Efi] qui ne nécessite presque pas de connaissances au-delà du Lycée. De plus, par soucis de simplicité, je ne donne que les axiomes de la géométrie plane, et pas ceux de la géométrie dans l'espace. Il y a donc deux types d'objets primitifs : les points et les droites, et trois types de relations : appartenir (qu'on notera $\in$), être situé entre, et être congruent (qu'on notera $\equiv$). De plus, pour faciliter l'exposé, on dira parfois ``le point est sur la droite'', ``la droite contient le point'', ou ``la droite passe par le point'', à la place de ``le point appartient à la droite''. De plus, si trois points sont sur une même droite, on dira qu'ils sont alignés. On appelle ``Plan'' l'ensemble de tous les points et de toutes les droites.

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Fabien Besnard
2000-08-09