next up previous
suivant: Groupe E : Axiome monter: Les axiomes de Hilbert précédent: Groupe C : Axiomes

Groupe D : Axiomes de continuité

  1. (axiome d'Archimède) Soient $[A,B]$ et $[C,D]$ deux segments quelconques. Alors il existe une suite finie de points : $A_1,\ldots,A_n$ appartenant à la droite $(AB)$ et tels que $A<A_1<\ldots<A_{n-1}<B<A_n$, avec $AA_1\equiv A_1A_2\equiv\ldots\equiv A_{n-1}A_n\equiv CD$ (en d'autres termes : on peut former un segment plus grand que $[A,B]$ en mettant bout-à-bout suffisament de segments congruents à $[C,D]$).

    \includegraphics {archi.eps}
    Fig.3. Axiome d'Archimède.

  2. (axiome de Cantor) Si $(A_n)$ et $(B_n)$ sont deux suites infinies de points telles que $]A_{i+1},B_{i+1}[\subset]A_i,B_i[$ et telles que pour tout segment $]C,D[$, il existe $i$ tel que $]A_i,B_i[$ soit congruent à un segment inclus dans $]C,D[$, alors il existe un point $X$ appartenant à tous les segments $]A_i,B_i[$ (en d'autres termes : soit une suite de segments emboîtés dont la longueur tend vers $0$ : alors il y a un point commun à tous les segments).

\includegraphics {cantor.eps}
Fig.4. Axiome de Cantor.

Ces axiomes permettent d'établir une correspondance entre les points d'une droite et l'ensemble des nombres réels. On peut toutefois faire de la géométrie sans l'axiome de Cantor (voir plus loin). Les axiomes jusqu'à présent énoncés permettent de démontrer des théorèmes qui sont communs à la géométrie d'Euclide et à celle de LobatchevskiA.1. On appelle parfois la théorie issue de ces axiomes ``la géométrie absolue''. Un théorème important de la géométrie absolue est le suivant :

Théorème 6   La somme des angles intérieurs d'un triangle est toujours inférieure ou égale à deux angles droits.


next up previous
suivant: Groupe E : Axiome monter: Les axiomes de Hilbert précédent: Groupe C : Axiomes
Fabien Besnard
2000-08-09