Les symétries de jauge.

Tout d'abord notons que les lois de la physique recèlent de nombreuses symétries évidentes : cela signifie que certaines transformations de l'espace, comme les translations ou les rotations, laissent les lois de la physique invariantes. En d'autres termes, la nature se moque de savoir quel repère nous utilisons pour la décrire.

Observons que ces symétries possèdent des réciproques et peuvent se composer. Elles forment donc ce qu'on appelle en mathématiques un groupe de transformations. Plus précisément, il s'agit d'un groupe de Lie, c'est-à-dire un groupe continu qui est en même temps une variété géométrique (une variété est quelque chose comme une courbe ou une surface, mais éventuellement à 3,4 ou n dimensions). L'exemple le plus simple est le groupe des translations, qui s'identifie géométriquement à l'espace R3 lui même (c'est donc une variété à 3 dimensions). L'identification géométrique du groupe des rotations est plus délicate mais fort instructive : elle fait intervenir les quaternions. Le groupe des rotations de R3 est également une variété à 3 dimensions : en effet pour préciser une telle rotation il faut se donner un axe (deux angles suffisent) et l'angle de la rotation, soit trois nombres au total.

Or le théorème d'Emmy Noether (1915) affirme qu'à tout groupe continu de symétries correspond une quantité conservée, et vice-versa. C'est par exemple un ravissement pour l'esprit de découvrir que la conservation de la quantité de mouvement, bien connue des élèves lanceurs de palets auto-porteurs (ou amateurs de billard), est la conséquence de la symétrie de translation dans l'espace. De même, la conservation de l'énergie cinétique provient de l'invariance par translation dans le temps (autrement du simple fait que les lois de la physique sont les mêmes quelle que soit la date). La conservation du moment cinétique (ce qu'on pourrait appeler le théorème du patineur : en se recroquevillant sur lui-même il accélère sa rotation) provient, elle, de l'invariance par rotation. [Attention, dans ce cas il y a trois quantités conservées, car le moment cinétique est un vecteur, qui peut se décomposer selon trois axes. Chacune des composantes de ce vecteur est conservée. Cela correspond au fait que le groupe des rotations de l'espace est un groupe de Lie à trois dimensions.]

 

 

Il y a des symétries plus subtiles : on sait que le potentiel électrique est une quantité définie à une constante additive près, qu'on appelle la jauge. Cela signifie que l'univers serait exactement identique si on élevait le potentiel électrique de 100 V en tout point : personne ne se rendrait compte de rien. Mais quelle est donc la quantité conservée associée par le théorème de Noether à cette symétrie de jauge ? Ce n'est rien d'autre que la charge électrique. En physique des quarks, il existe ce qu'on appelle une symétrie de jauge locale. Un certain potentiel, que nous appellerons le potentiel fort (et qui n'a rien de commun avec le potentiel électrique), exprime la force nucléaire forte qui lie les quarks au sein des particules nucléaires (protons et neutrons).

Il se trouve que dans le monde des forces nucléaires fortes, tout serait identique si l'on changeait le potentiel fort localement. Qu'est-ce que cela signifie ? En fait le potentiel fort n'est pas simplement un nombre réel, comme le potentiel électrique. C'est (en simplifiant) un élément du groupe SU(3), autrement dit le groupe des transformations spéciales unitaires de C3 (qui sont représentés par des matrices 3x3 complexes dont les colonnes forment une base orthonormée directe de C3 ). Changer la jauge de ce groupe signifie que l'on décale l'élément de référence, tout comme pour le potentiel électrique. Toutefois, au lieu d'ajouter disons 10 Volts uniformément en tous les points de l'espace, on se permet de décaler (ce qui veut dire dans le groupe une multiplication) en tout point x par un élément g(x) du groupe. Si c'était le cas pour le potentiel électrique, cela voudrait dire qu'on aurait de droit d'ajouter un potentiel f(x) en tout point x, où f est une fonction de R3 dans R3.

Quelle est la quantité conservée associée à ce groupe de jauge, le groupe SU(3) ? C'est la " charge forte ", qu'on appelle couleur. Il y a trois couleurs, car le groupe SU(3) agit sur un espace à 3 dimensions. (Ici l'application du théorème de Noether n'est pas directe, en particulier parce que le groupe SU(3) n'est pas commutatif. Il possède un sous-groupe commutatif maximal qui correspond à la conservation de deux "nombres quantiques". Chaque couleur correspond à des valeurs particulières pour ces nombres : il y en a trois couples possibles.) On les appelle rouge, vert et bleu, ce qui bien sûr ne correspond à rien de concret. Cela signifie seulement que les quarks peuvent être de trois types différents, r,v, ou b, de la même manière qu'une particule peut être positivement ou négativement chargée. La différence est qu'il y a qu'un type de charge électrique alors qu'il y a trois types de couleur. (Ajoutons qu'en plus, les quarks possèdent également une charge électrique et une "saveur" ! Mais cela est une toute autre histoire.) Mais il y a plus : en effet il faut voir les trois types de couleurs, r,v, et b comme les trois vecteurs d'une base orthonormée d'un espace (complexe) de dimension 3. C'est dans cet espace interne des couleurs du quark qu'agissent les symétries de "rotations". Seulement là encore, tout est local. C'est-à-dire qu'en chaque point x de l'espace physique il faut imaginer, comme une feuille attachée à une corde à linge, un espace des couleurs Cx (voir figure 1). Mathématiquement cela constitue ce qu'on appelle un fibré vectoriel.

figure 1

Il y a une façon intuitive de se représenter tout ceci en considérant un écran d'ordinateur : celui-ci est composé de pixels. Chaque pixel est formé de trois sous-unités respectivement rouge, verte et bleue. L'écran joue le rôle de l'espace physique, et les pixels des espaces de couleurs. Une symétrie de jauge locale peut ainsi être comparée à une rotation, pour chaque pixel, des trois couleurs fondamentales. Par exemple, en admettant que les pixels soient hexagonaux ils pourraient tous être initialement dans l'état représenté sur la figure 2, et être chacun modifié indépendamment des autres.

Mais qu'observerait-on à l'écran si on effectuait une telle manipulation ? Rien ! En effet, la couleur d'un pixel est déterminée par le mélange des couleurs produites par ses trois sous-unités, chacun avec une certaine luminosité. Par exemple pour produire du bleu, la sous-unité bleue est allumée au maximum d'intensité alors que les deux autres sont complètement éteintes. Les différentes combinaisons d'intensités lumineuses produisent les millions de couleurs qu'un écran d'ordinateur peut afficher. Mais supposons qu'on regarde une image sur l'écran, et que l'on fasse une " symétrie de jauge locale ". Alors, bien que chaque pixel soit tourné, la couleur affichée serait la même, ainsi que l'image produite. Voilà comment on peut essayer d'imaginer une chose aussi barbare qu'une symétrie de jauge locale de groupe SU(3)…

Symétrie de jauge et forces

La leçon que nous pouvons tirer de ce qui précède est que les symétries des lois de la physique sont à l'origine de la conservation de quantités telles que la charge, la couleur, la quantité de mouvement, l'énergie, etc... De plus, nous pouvons constater que toutes ces symétries (translation dans l'espace ou dans le temps, changement de potentiel électrique, ou fort) expriment en fait l'indifférence des lois de la nature envers ce que nous décidons de prendre comme élément de référence pour la décrire. Supposons maintenant que nous ayons l'idée saugrenue de prendre comme élément de référence un manège tournant sur lui-même à vitesse constante. Nous prendrons comme origine le centre O de rotation du manège, deux axes (Ox) et (Oy) orthogonaux dans le plan du manège et un axe (Oz) orthogonal au plan du manège. Dans ce référentiel, le manège ne tourne pas ! La situation est bien connue : des expérimentateurs situés sur le manège pourront observer que la quantité de mouvement de palets autoporteurs n'est pas conservée. Ils en déduiront l'existences de forces, appelées forces d'inerties. Mais l'interprétation d'observateurs extérieurs au manège est toute autre : pour eux, c'est le manège qui tourne, il n'y a pas de force d'inertie, et les palets autoporteurs se sont déplacés en ligne droite, à vitesse constante, conservant leur quantité de mouvement. Ainsi on voit qu'en introduisant un référentiel qui brise la symétrie de l'espace-temps, on voit apparaître des forces d'inerties. Mais Einstein a montré que ces forces d'inerties sont de même nature que les forces gravitationnelles. En fait, on peut concevoir toute force gravitationnelle comme une force d'inertie dans un système de coordonnées particulier, et réciproquement. Ceci exprime le fait que le champ gravitationnel est ce qu'on appelle un champ de jauge : cette force apparaît pour rétablir la symétrie qui serait brisée par un système de coordonnées particulier.

Le champ électromagnétique est également un champ de jauge : nous avons déjà vu qu'un changement global de potentiel électrique est sans effet. Mais si on change le potentiel juste en un point, on brise cette symétrie, et on introduit une force électrique (si le potentiel est initialement nul partout, et qu'on le porte à 100 V en un point, et si vous touchez ce point alors que vos pieds sont toujours à 0 V vous prenez du jus !). On peut faire aussi varier le potentiel dans le temps : dans ce cas c'est un champ magnétique qu'on introduit. (En réalité les deux sont indissociables : une description relativiste impose d'associer variation dans le temps et variation dans l'espace, donc champ électrique et magnétique.)

De même, le champ nucléaire fort est un champ de jauge, ainsi que le champ nucléaire faible, dont nous n'avons pas parlé. Ainsi les quatre interactions connues à ce jour rentrent toutes dans ce même cadre conceptuel. Cependant les trois forces décrites par la théorie quantique (la force électromagnétiques est décrite par la théorie quantique, même si nous n'avons esquissé ici qu'une description classique) ont un groupe de jauge plutôt petit : c'est SU(3) pour la force nucléaire forte, U(1) (l'ensemble des nombres complexes de module 1) pour la force électromagnétique, U(1)xSU(2) lorsqu'on unifie celle-ci avec la force nucléaire faible, alors que celui de la gravitation est Diff(M) : le groupe de tous les changements de coordonnées curvilignes possible de l'espace-temps. Les trois premiers sont petits au sens où ce sont des groupes de Lie : c'est-à-dire des variétés de dimension finie, alors que Diff(M) est de dimension infinie.

 

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