Le paradoxe de la voiture surprise



Ce "paradoxe" illustre bien la peine que nous avons à manipuler intuitivement les probabilités.

On imagine un jeu télévisé au cours duquel on propose au candidat de choisir entre trois portes que nous désignerons par les lettres A,B et C. Le présentateur annonce que derrière l'une de ces portes se trouve une magnifique voiture dernier cri, alors que derrière les deux autres se trouve un lot d'une valeur de seulement 1000 Euros. Le candidat va alors se placer devant la porte de son choix. Supposons que c'est A pour fixer les idées (cela ne change évidemment rien au raisonnement). À ce moment le présentateur, pour faire un effet dramatique, ouvre l'une des deux autres portes derrière laquelle ne se trouve pas la voiture. En effet, le présentateur sait derrière quelle porte la voiture se cache, et parmi les deux portes que le candidat n'a pas choisies, il y en a forcément au moins une ne donnant pas accès à la voiture. Disons que le présentateur choisit d'ouvrir la porte B. "Heureusement que vous n'avez pas choisi cette porte !" dit-il. "Il y a donc une chance sur deux pour que vous ayez choisi la bonne porte !". Le candidat interrompt alors le présentateur : "Non, il n'y a qu'une chance sur trois.". Ce à quoi le présentateur rétorque qu'il y a bien une chance sur deux puisqu'il ne reste plus que deux portes fermées. Le candidat propose alors au présentateur le droit de se placer devant la porte C, puisque selon celui-ci cela ne fait aucune différence. Le présentateur accède à sa demande. "Fort bien, j'ai maintenant 2 chances sur 3 de gagner la voiture !" se félicite alors le candidat.

Qui a raison ?? La solution se trouve plus bas.






C'est le candidat qui a raison. Pour s'en rendre compte sans rentrer dans le détail du calcul, imaginons que la scène se répète un grand nombre de fois, la voiture étant placée derrière chacune des portes dans un tiers des cas. Alors dans un tiers des cas, le candidat aura fait le bon choix en se plaçant derrière la porte A. Ce qui signifie que deux fois sur trois, il aura fait le mauvais choix. Alors, le présentateur ouvrira l'une des deux portes, B ou C, ne cachant pas la voiture. Et puisqu'il y a 2 chances sur trois que la porte A soit mauvaise, il y a 2 chances sur 3 que la porte restante (C dans notre histoire) soit la bonne.
Bien sûr, il est encore plus intéressant de faire le calcul car c'est seulement ainsi que l'on comprend d'où vient l'erreur commise par le présentateur, et pourquoi notre intuition peut nous tromper.
Rappelons tout d'abord la définition de P(E|F) : probabilité que l'événement E se produise, sachant que F s'est produit. Cette probabilité vaut P(E et F)/P(F).
L'erreur consiste ici à croire que le présentateur nous donne seulement l'information "la voiture n'est pas en B", et à calculer en conséquence P(voiture en A|voiture n'est pas en B). Or l'information qu'il nous donne est "Le présentateur ouvre la porte B" et cet événement est inclus strictement dans le précédent. Faisons les deux calculs :
P(voiture en A|elle n'est pas en B)=
P(la voiture est en A et n'est pas en B)/P(elle n'est pas en B)
Or l'événement "la voiture est en A et n'est pas en B" est le même que "la voiture est en A" et sa probabilité vaut 1/3. Quant à la probabilité de "la voiture n'est pas en B" elle est de 2/3. Le quotient vaut donc 1/2 : c'est la probabilité estimée par le présentateur. Voyons maintenant l'autre calcul :
P(la voiture est en A|le présentateur ouvre B)=P(la voiture est en A et le présentateur ouvre B)/P(le présentateur ouvre B)
Dans un cas sur trois la voiture est en A. Sachant qu'elle est en A, le présentateur peut ouvrir soit B, soit C, chaque cas ayant une probabilité de 1/2. Autrement dit P(la voiture est en A et le présentateur ouvre B)=P(le présentateur ouvre B|la voiture est en A)P(la voiture est en A)=1/2*1/3=1/6. Il faut maintenant calculer P(le présenteur ouvre B). Décomposons l'événement "le présentateur ouvre B" en "(il ouvre B et la voiture est en A) ou (il ouvre B et la voiture est en C)". Ces deux cas sont mutuellement exclusif. La probabilité du premier vient d'être calculée : elle est de 1/6. La seconde est très simple à calculer car si la voiture est en C, le présentateur est obligé d'ouvrir B. Autrement dit l'événement "voiture en C" est inclus dans "le présentateur ouvre B", l'intersection de ces deux événements est donc égale au plus petit des deux, et P(le présentateur ouvre B et la voiture est en C)=P(la voiture est en C)=1/3. Donc :
P(voiture en A|présentateur ouvre B)=(1/6):(1/6+1/3)=1/3
Le candidat a donc raison, il n'y a qu'une chance sur trois que la voiture se trouve derrière la porte A, sachant que le présentateur a ouvert la B. Conséquemment il y a 2 chances sur 3 qu'elle soit en C, et le candidat double ses chances en choisissant de changer de porte.
Si vous vous risquez à soumettre ce problème à la fin d'un repas bien arrosé, il est probable que vous n'ayez pas la possibilité d'exposer la solution en terme de probabilités conditionnelles. Afin de convaincre vos convives qui demeureraient incrédules, vous pouvez proposer d'imaginer qu'il y a non pas 3 mais 100 portes, le présentateur ouvrant 98 des 99 portes non choisies par le candidat. Ici l'intuition nous souffle que le présentateur nous donne une information capitale en choisissant scrupuleusement une porte à ne pas ouvrir, et la solution est plus évidente : il y 99 chances sur 100 que la voiture soit derrière la porte qui n'a pas été ouverte.

Pour les insatiables, voici une autre version du même problème due à Martin Gardner. Un jeu comporte 4 cartes : un as de pique, un as de coeur, un deux de trèfle et un roi de carreaux. Un joueur tire deux cartes au hasard et annonce qu'il a un as en main. Il faut calculer la probabilité qu'il ait l'autre as. Il est facile de voir qu'il y a 5 mains comportant un as, et que parmi celles-ci une seule comporte deux as. Donc la probabilité cherchée est de 1/5.
Maintenant que se passe-t-il s'il annonce qu'il a l'as de pique ? Il n'y a que trois mains comportant l'as de pique et le même raisonnement semble conduire à la conclusion inéluctable que la probabilité qu'il ait l'autre as en main est de 1/3... Et bien c'est complétement faux ! Cette probabilité est encore de 1/5. Ce "paradoxe" se résoud comme le précédent, aussi je vous laisse le plaisir de chercher vous même.
Notons que si l'on convient à l'avance que le joueur doit anoncer l'as de pique s'il l'a en main, cela change tout, et la probabilité est bien de 1/3.

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