Soient trois candidats ou trois options, A, B et C que nous voulons départager par le vote. Si une majorité d'électeurs préfère A à B, nous noterons A>B.

On peut imaginer que si A>B et B>C alors A>C. Et bien cela est faux en général comme le prouve l'exemple suivant :

J'ai demandé à mes élèves de seconde de classer les couleurs jaune, orange, et vert par ordre de préférence. Voici quels ont été les résultats :

J>V>O : 5 voix

J>O>V : 6 voix

O>J>V : 3 voix

O>V>J : 3 voix

V>O>J : 7 voix

V>J>O : 1 voix

On voit que sur les 25 élèves, 5+6+3=14 ont placé le jaune avant le vert, donc J>V.

On constate de même que V>O par 13 voix contre 12, et O>J par 13 voix contre 12.

On a donc J>V, V>O et pourtant O>J alors qu'on s'attendrait à J>O ! Autrement dit aucun classement tel que J>V>O ne peut être considéré comme le classement préféré de la classe, car celui-ci impliquerait que J>O. Dans ce cas, les classements individuels ne peuvent conduire à un classement collectif.

Pour télécharger la totalité de l'exercice donné à mes élèves (on y étudie aussi la notion de candidat-Condorcet) :

paradoxe.ps paradoxe.pdf paradoxe.tex